Question

20．已知{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足对于任意n∈N^*，点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上，且a₁=b₁=2，a₂=b₂．
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）若${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{a}_{n}，n为奇数\\{b}_{n}，n为偶数\end{array}\right.$求数列{c_n}的前2n项的和S_2n．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出有$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{b_{{n_{\;}}}}}}=2$，判断数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解为${b_n}={2^n}$，运用条件判断数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，根据通项公式即可求解a_n=2n；
（2）运用C_n的通项公式得出S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）分别求解和即可．

解答 解：（1）由点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上，有$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{b_{{n_{\;}}}}}}=2$，
所以数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即数列{b_n}的通项公式为${b_n}={2^n}$，
又a₁=b₁=2，a₂=b₂=4，则d=a₂-a₁=4-2=2，
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；        
（2）${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{a}_{n}，n为奇数\\{b}_{n}，n为偶数\end{array}\right.$，
所以S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=$\frac{n（2+4n-2）}{2}+\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}$=$2{n^2}+\frac{4}{3}（{4^n}-1）$．

点评 本题考查了等差，等比数列定义，性质，学生对题意的理解，学生分析解决问题的能力，综合性强，属于中档题．