题目内容

【题目】已知函数fx的图象与函数hx=x++2的图象关于点A0,1对称.

1求fx的解析式;

2若gx=x2·[fx-a],且gx在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.

【答案】12

【解析】

试题分析:1求曲线关于一点A0,1对称的曲线的解析式,可设是对称轴线上的任意一点,利用对称性求出关于A0,1的对称点的坐标,把代入已知函数解析式即可得的解析式;21是三次函数,求出导数,这样由题意g'x=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,即x∈[1,2]恒成立,由此只要求得的最小值即可得的范围.

试题解析:1设fx图象上任一点的坐标为Px,y,因为点P关于点A0,1的对称点P'-x,2-y在hx的图象上,

∴2-y=-x+ +2,∴y=x+,即fx=x+

2gx=x2·[fx-a]=x3-ax2+x,

又gx在区间[1,2]上为增函数,

∴g'x=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,

2a≤3x+x∈[1,2]恒成立.

不妨令rx=3x+,

由于函数rx=3x+在[1,2]上单调递增,

故rxmin=r1=4.于是2a≤4,a≤2.

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