题目内容
【题目】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=x2·[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)求曲线关于一点A(0,1)对称的曲线的解析式,可设是对称轴线上的任意一点,利用对称性求出关于A(0,1)的对称点的坐标,把代入已知函数解析式即可得的解析式;(2)由(1)是三次函数,求出导数,这样由题意g'(x)=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,即对x∈[1,2]恒成立,由此只要求得的最小值即可得的范围.
试题解析:(1)设f(x)图象上任一点的坐标为P(x,y),因为点P关于点A(0,1)的对称点P'(-x,2-y)在h(x)的图象上,
∴2-y=-x+ +2,∴y=x+,即f(x)=x+
(2)g(x)=x2·[f(x)-a]=x3-ax2+x,
又g(x)在区间[1,2]上为增函数,
∴g'(x)=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,
即2a≤3x+对x∈[1,2]恒成立.
不妨令r(x)=3x+,
由于函数r(x)=3x+在[1,2]上单调递增,
故r(x)min=r(1)=4.于是2a≤4,a≤2.