题目内容
【题目】已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x+ (x>0)都在x=x0处取得最小值.
(1)求f(x0)﹣g(x0)的值.
(2)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),h(x)的极值点之和落在区间(k,k+1),k∈N,求k的值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=xlnx,x>0,
∴f′(x)=1+lnx,
令f′(x)=1+lnx=0,解得x= ,
当x> 时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当0<x< 时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴当x= ,且f(
)=﹣
,
∵f(x)=xlnx,g(x)=x+ (x>0)都在x=x0处取得最小值,
∴x0= ,
∵g(x)=x+ (x>0),
∴g′(x)=1﹣ ,
∴g′( )=1﹣
=0,
解得a=e2,
∴g(x0)=g( )=
+
,
∴f(x0)﹣g(x0)=﹣ +
+
=
(2)解:函数h(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx﹣x﹣ ,
∴h′(x)=1+lnx﹣1+ =lnx﹣
,
设φ(x)=lnx﹣ ,
∴φ′(x)= +
>0,
∴h′(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h′(1)h(e)<0,
∴h′(x)在(1,e)上存在唯一的零点,
∵h(x)的极值点之和落在区间(k,k+1),
∴k=1
【解析】(1)先利用导数求出f(x)的极值点和极值,继而求出a的值,再求出g(x)的极值,问题得以解决,(2)先求导得到h′(x)=lnx﹣ ,再根据函数零点存在定理即可判断零点所在的区间.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】漳州水仙鳞茎硕大,箭多花繁,色美香郁,素雅娟丽,有“天下水仙数漳州”之美誉.现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花,雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元,如果雕刻师当天超额完成任务,则超出的部分每粒多赚0.5元;如果当天未能按量完成任务,则按完成的雕刻量领取当天工资. (Ⅰ)求雕刻师当天收入(单位:元)关于雕刻量n(单位:粒,n∈N)的函数解析式f(n);
(Ⅱ)该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n(单位:粒),整理得如表:
雕刻量n | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率.
(ⅰ)在当天的收入不低于276元的条件下,求当天雕刻量不低于270个的概率;
(ⅱ)若X表示雕刻师当天的收入(单位:元),求X的分布列和数学期望.