题目内容
【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x+ 
（x＞0）都在x=x0处取得最小值．
（1）求f（x0）﹣g（x0）的值．
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），k∈N，求k的值．
【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，x＞0，
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，解得x= 
，
当x＞ 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴当x= ，且f（ ）=﹣ ，
∵f（x）=xlnx，g（x）=x+ 
（x＞0）都在x=x0处取得最小值，
∴x0= ，
∵g（x）=x+ （x＞0），
∴g′（x）=1﹣ 
，
∴g′（ ）=1﹣ 
=0，
解得a=e2，
∴g（x0）=g（ ）= + 
，
∴f（x0）﹣g（x0）=﹣ + + =
（2）解：函数h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ 
，
∴h′（x）=1+lnx﹣1+ 
=lnx﹣ ，
设φ（x）=lnx﹣ ，
∴φ′（x）= 
+ 
＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h′（1）h（e）＜0，
∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零点，
∵h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），
∴k=1
【解析】（1）先利用导数求出f（x）的极值点和极值，继而求出a的值，再求出g（x）的极值，问题得以解决，（2）先求导得到h′（x）=lnx﹣ 
，再根据函数零点存在定理即可判断零点所在的区间．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案．
【题目】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资． （Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：
雕刻量n | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．
