题目内容
（2012•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）若∠ADE=
| π |
| 6 |
（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为
2
| ||
| 7 |
分析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=
．证明CE⊥DE．PD⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．
（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S侧=
+
+
．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S侧=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
解答：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=
，∠ADE=
，
∴AE=AD•tan∠ADE=
•
=1．
又AB=CD=4，∴BE=3．
在Rt△EBC中，BC=AD=
，∴tan∠CEB=
=
，∴∠CEB=
．
又∠AED=
，∴∠DEC=
，即CE⊥DE．
∵PD⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=
．
在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得
AE=
•
，解得AE=2．
∴S△APD=
PD•AD=
×
×
=
，
S△ADE=
AD•AE=
×
×2=
，
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE=2，PA=
=
=
，
∴S△APE=
PA•AE=
×
×2=
．
∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧=
+
+
．…（12分）
（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=
| 3 |
| π |
| 6 |
∴AE=AD•tan∠ADE=
| 3 |
| ||
| 3 |
又AB=CD=4，∴BE=3．
在Rt△EBC中，BC=AD=
| 3 |
| BC |
| BE |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
又∠AED=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∵PD⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=
2
| ||
| 7 |
在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得
| 3 |
2
| ||
| 7 |
| 3+AE2 |
∴S△APD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
S△ADE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE=2，PA=
| PD2+AD2 |
| 2+3 |
| 5 |
∴S△APE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
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