题目内容
设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),又f'(0)=1,则函数f(x)的解析式为
f(x)=x+
x3
1 |
3 |
f(x)=x+
x3
.1 |
3 |
分析:可令y=1可得f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x然后分别赋予x为1,2,3…,(x-1)将这(x-1)个式子相加再结合12+22+…+(x-1)2=
可得f(x)=xf(1)+
下面只需求出f(1)即可求解而f'(0)=1,两边求导即可求出f(1)=
再代入即可求出f(x).
x(x-1)(2x-1) |
6 |
x3-x |
3 |
4 |
3 |
解答:解:∵f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
∴令y=1则f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x
∴f(2)-f(1)=f(1)+12+1
f(3)-f(2)=f(1)+22+2
…
f(x)-f(x-1)=f(1)+(x-1)2+(x-1)
∴将上面(x-1)个式子相加可得f(x)-f(1)=(x-1)f(1)+[12+22+…+(x-1)2]+(1+2+3+…+(x-1))
∴f(x)=xf(1)+
+
=xf(1)+
∴f′(x)=f(1)+
∵f'(0)=1
∴f(1)-
=1
∴f(1)=
∴f(x)=
+
=
x3+x
故答案为f(x)=
x3+x
∴令y=1则f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x
∴f(2)-f(1)=f(1)+12+1
f(3)-f(2)=f(1)+22+2
…
f(x)-f(x-1)=f(1)+(x-1)2+(x-1)
∴将上面(x-1)个式子相加可得f(x)-f(1)=(x-1)f(1)+[12+22+…+(x-1)2]+(1+2+3+…+(x-1))
∴f(x)=xf(1)+
x(x-1)(2x-1) |
6 |
x(x-1) |
2 |
x3-x |
3 |
∴f′(x)=f(1)+
x3-x |
3 |
∵f'(0)=1
∴f(1)-
1 |
3 |
∴f(1)=
4 |
3 |
∴f(x)=
4x |
3 |
x3-x |
3 |
1 |
3 |
故答案为f(x)=
1 |
3 |
点评:本题主要考查了函数解析式的求解,由于用到了利用递推公式和叠加法以及12+22+…+(x-1)2=
①再加上导数的应用,综合性较强难度较大.解题的关键是利用y=1得出f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x再利用叠加法结合公式①得出f(x)=xf(1)+
!
x(x-1)(2x-1) |
6 |
x3-x |
3 |
练习册系列答案
相关题目
已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0(其中f'(x)为f(x)的导数).设a=f(0),b=f(
),c=f(3),则a、b、c三者的大小关系是( )
1 |
2 |
A、a<b<c |
B、c<a<b |
C、c<b<a |
D、b<c<a |
设函数f(x)满足f(n+1)=
(n∈N*),且f(1)=2,则f(20)为( )
2f(n)+n |
2 |
A、95 | B、97 |
C、105 | D、192 |