Question

5．若对任意x∈R，不等式sin2x+2sin²x-m＜0恒成立，则m的取值范围是（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换可得 m＞$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，再根据$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1 的最大值为$\sqrt{2}$+1，从而求得m的范围．

解答 解：不等式sin2x+2sin²x-m＜0，即 m＞sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
由于$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1 的最大值为$\sqrt{2}$+1，∴m＞$\sqrt{2}$+1，
故答案为：（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．