Question

（本小题满分12分）求证：3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．

Answer 1

方法1：二项式定理
证明：3²ⁿ⁺²-8n–9=9ⁿ⁺¹-8n–9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n–9                    ………………………………4分
=8ⁿ⁺¹＋·8ⁿ＋…＋·8²＋·8＋-8n-9
=8²（8^n-1+8^n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分
=64（8^n-1+8^n-2+…+）            …………………………………10分
∵8^n-1+8^n-2+…+∈Z，
∴3²ⁿ⁺²-8ⁿ–9能被64整除．                                         …………………………………12分
方法2：数学归纳法
（1）当n=1时，式子3²ⁿ⁺²-8n–9=3⁴-8-9=64能被64整除，命题成立．………………2分
（2）假设当n=k时，3^2k+2-8k-9能够被64整除．      ………………………………4分
当n=k+1时，
3^2k+4-8（k＋1）-9
=9[3^2k+2-8k-9]＋64k＋64
＝9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                     …………………………………8分
因为3^2k+2-8k-9能够被64整除，
∴9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．                    …………………………………10分
即当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

略