Question

14．一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，则它的表面积为4+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，PO⊥底面ABCD．取AB的中点E，连接OE，PE．设棱长AB=2x，则OE=x，PE=$\sqrt{3}$x，利用勾股定理可得PO=$\sqrt{2}$x，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}$•PO=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，解得x．
即可得出S_表面积=4S_正△PAB+S_{正方形ABCD}．

解答 解：如图所示，
PO⊥底面ABCD．
取AB的中点E，连接OE，PE．
设棱长AB=2x，则OE=x，PE=$\sqrt{3}$x，
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}$•PO
=$\frac{1}{3}（2x）^{2}$$•\sqrt{2}$x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
解得x=1．
∴S_表面积=4S_正△PAB+S_{正方形ABCD}=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$+2²=4+4$\sqrt{3}$．
故答案为：4+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正四棱锥的表面积与体积的计算公式、勾股定理、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．