Question

【题目】设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+ a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意ax2﹣x+ a＞0 对任意x∈R恒成立，

当a=0时，不符题意，舍去；

当a≠0时，则 a＞2，

所以实数a的取值范围是a＞2

（2）解：设t=3x（t＞0），g（t）=﹣t2+t=﹣ + ，

g（t）max= ，

当q为真命题时，有a＞ ，

∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，

∴p与q一个为真，一个为假，

当p真q假，则 ，无解，

当p假q真，则 ＜a≤2，

综上，实数a的取值范围是： ＜a≤2

【解析】（1）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可；（2）分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到不等式组，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．