题目内容
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
(1) 求证:平面BCD;
(2) 求异面直线AB与CD所成角余弦的大小;
(3) 求点E到平面ACD的距离.
解:(1) 证明:连结OC,
………… 1分
,. ……… 2分
在中,
由已知可得 …………3分
而, ∴ ……… 4分 ∴即 ………………… 5分
∴平面. …………… 6分
(2) 解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
∴,…………… 9分
∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为.…… 10分
(3) 解:设平面ACD的法向量为则
,∴ ,
令得是平面ACD的一个法向量.
又 ∴点E到平面ACD的距离 .……… 14分
(3) (法二)解:设点E到平面ACD的距离为.
,
∴ …………………………12分
在中,,
∴,
而,.
∴,
∴点E到平面ACD的距离为…………… 14分
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