Question

如图，三棱柱的侧棱平面，为等边三角形，侧面是正方形，是的中点，是棱上的点.

（1）若是棱中点时，求证：平面;
（2）当时，求正方形的边长.

Answer 1

详见解析

试题分析：（1） 取的中点为，连接 ,由题设可知，为的中点，易证,可证四边形是平行四边形，所以 ，依据正三棱柱的条件，易证 ， ,这样和平面内的两条相交直线垂直，所以平面 ；
（2）,只要设正方形的边长为,那么根据第一问的结论，用可以表示与高,根据体积为，即可求出.
（1）取的中点为，连接,
 是的中点, 是棱中点,
∥,,,
则四边形是平行四边形，,
又因为为正三角形，侧面是正方形,

,所以,,
因为侧棱⊥平面，所以，
,，所以,
又因为，，所以平面. 6分
（2）设正方形的边长为
由于E是的中点，△EAB的面积为定值。
∥平面，点F到平面的距离为定值
即为点C到平面平面的距离
又，且=
即 ，所以正方形的边长为6.       12分