Question

1．设点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$与圆x²+y²=2a²的一个交点，F₁、F₂分别是双曲线的左右焦点，且PF₁=3PF₂，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$与圆x²+y²=2a²的一个交点，联立可得P（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{ab}{c}$），利用|PF₂|=a，可得关于a、c的等式，即可求得离心率．

解答 解：依据双曲线的定义：设|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=2a²的一个交点，
联立可得P（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{ab}{c}$），
∵|PF₂|=a，
∴（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$-c）²+（$\frac{ab}{c}$）²=a²①
在双曲线中c²=a²+b²②，
联立①②
解得：3a⁴+2a²c²-c⁴=0③．
令a²=m，c²=n，可得：3m²+2mn-n²=0．
求得：m=-n（舍去），或$\frac{n}{m}$=3．

∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．