Question

9．已知半径为2的扇形AOB圆心角为$\frac{π}{3}$，其内接矩形MNPQ如图所示，求矩形面积最大值．

Answer 1

分析 将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论．图一角是2α，图二拆分后角是α，故矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}$r²tan$\frac{α}{2}$，由此可得结论．

解答 解：图一，设半径为2的扇形AOB圆心角为2α=$\frac{π}{3}$，∠MOQ=x，则MQ=rsinx，
在△OMN中，$\frac{MN}{sin（2α-x）}=\frac{r}{sin（180°-2α）}$，
∴MN=$\frac{rsin（2α-x）}{sin2α}$，
∴矩形面积S=$\frac{{r}^{2}sin（2α-x）sinx}{sin2α}$=$\frac{{r}^{2}}{2sin2α}$[cos（2x-2α）-cos2α]≤$\frac{{r}^{2}}{2sin2α}$[1-cos2α]=$\frac{1}{2}$r²tanα，
当且仅当x=α时，取得最大值，故图一矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}$r²tanα=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×tan30°$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
图二可拆分成两个，图一角是2α，图二拆分后角是α，故根据图1得出的结论，可得矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}$r²tan$\frac{α}{2}$，
而图二时由两个这样的图形组成，所以两个则为r²tan$\frac{α}{2}$．
故答案为：r²tan$\frac{α}{2}$=2²×tan$\frac{π}{12}$=4（2-$\sqrt{3}$），
显然$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞4（2-$\sqrt{3}$），
所以内接矩形的最大面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题．