题目内容
(12分)如图,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,
若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只
有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E—BC—A正切值的大小。
若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只
有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E—BC—A正切值的大小。
若以BC为直径的球面与线段PD有交点E,由于点E与BC确定的平面与球的截
面是一个大圆,则必有BE⊥CE,因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O(即球心),再取AD的中点M,易知OM⊥平面PAD,作ME⊥PD交PD于点E,连结OE,则OE⊥PD,所以OE即为点O到直线PD的距离,又因为OD>OC,OP>OA>OB,点P,D在球O外,所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点,只要使OE≤OC(设OC=OB=R)即可。
由于△DEM∽△DAP,可求得ME= ,
所以OE2="9+" 令OE2≤R2,即9+ ≤R2,解之得R≥2;
所以AD=2R≥4,所以AD的取值范围[ 4,+∞,
当且仅当AD= 4时,点E在线段PD上惟一存在,此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
面是一个大圆,则必有BE⊥CE,因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O(即球心),再取AD的中点M,易知OM⊥平面PAD,作ME⊥PD交PD于点E,连结OE,则OE⊥PD,所以OE即为点O到直线PD的距离,又因为OD>OC,OP>OA>OB,点P,D在球O外,所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点,只要使OE≤OC(设OC=OB=R)即可。
由于△DEM∽△DAP,可求得ME= ,
所以OE2="9+" 令OE2≤R2,即9+ ≤R2,解之得R≥2;
所以AD=2R≥4,所以AD的取值范围[ 4,+∞,
当且仅当AD= 4时,点E在线段PD上惟一存在,此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
略
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