Question

（2013•天津一模）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点B(

2

，

2

)的距离为2．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点（0，-3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足|

AM

|=|

AN

|，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由右焦点F到点B(

2

，

2

)的距离为2列式求出c的值，结合b=2和求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点M、N的坐标和，从而求出线段MN的中点P的坐标，由|

AM

| = |

AN

|，知点A在线段MN的垂直平分线上，由两点式写出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之积等于-1求直线l的斜率，则方程可求．

解答：解：（Ⅰ） 依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，
由|FB|=2，得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，
即(c-

2

)2+2=4，故c=2

2

．
又∵b=2，∴a²=b2+c2=22+(2

2

)2=12，
∴所求椭圆方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），
由|

AM

| = |

AN

|，知点A在线段MN的垂直平分线上，
由

y=kx-3 x2 12 + y2 4 =1

得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即k2＞

5

12

时方程①有两个不相等的实数根
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀）
则x₁，x₂是方程①的两个不等的实根，故有x1+x2=

18k

1+3k2

从而有x0=

x1+x2

2

=

9k

1+3k2

，y0=kx0-3=

9k2-3(1+3k2)

1+3k2

=

-3

1+3k2

于是，可得线段MN的中点P的坐标为P(

9k

1+3k2

，

-3

1+3k2

)
又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1=

-3 1+3k2 -2

9k 1+3k2

=

-5-6k2

9k

由AP⊥MN，得

-5-6k2

9k

×k=-1
即5+6k²=9，解得k2=

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
∴所求直线l的方程为：y=±

6

3

x-3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了设而不求的解题思想，训练了两直线垂直的条件，是难题．