题目内容
已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，且|z1+z2|=| 2 |
（1）求|z1-z2|的值；
（2）求证：(
| z1 |
| z2 |
分析：（1）利用共轭复数与复数的模相等，|z||
|=z2=
2，求出|z1-z2|2的值，进而确定|z1-z2|的值．
（2）利用（1）的（z1+z2）
=（z1-z2）
，推出z1
=-z2
，确定
是纯虚数，得到要证明的结论．
. |
| z |
. |
| z |
（2）利用（1）的（z1+z2）
. |
| z1+z2 |
. |
| z1-z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
| z1 |
| z2 |
解答：解：（1）由条件|z1-z2|=
，可记复数z的共轭复数为
．
∵|z1|=|z2|=1．∴z1
=z2
=1．
又|z1+z2|=
，∴（z1+z2）
=2．═＞z1
+z2
+（z1
+z2
）=2．
═＞z1
+z2
=0．
∴|z1-z2|2=（z1-z2）
=z1
+z2
+（z1
+z2
）=2．
∴|z1-z2|=
（2）∵|Z1+Z2|=|Z1-Z2|
∴|Z1+Z2|2=|Z1-Z2|2
∴（z1+z2）
=（z1-z2）
∴z1
=-z2
∴
=-
∴
是纯虚数，∴ (
)2＜0
| 2 |
. |
| z |
∵|z1|=|z2|=1．∴z1
. |
| z1 |
. |
| z2 |
又|z1+z2|=
| 2 |
. |
| z1+z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
═＞z1
. |
| z2 |
. |
| z1 |
∴|z1-z2|2=（z1-z2）
. |
| z1-z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
∴|z1-z2|=
| 2 |
（2）∵|Z1+Z2|=|Z1-Z2|
∴|Z1+Z2|2=|Z1-Z2|2
∴（z1+z2）
. |
| z1+z2 |
. |
| z1-z2 |
∴z1
. |
| z2 |
. |
| z1 |
∴
| z1 |
| z2 |
| ||
|
∴
| z1 |
| z2 |
| z1 |
| z2 |
点评：本题考查复数求模，复数的基本概念，考查计算能力，是基础题，公式的灵活运用，是解好题目的关键．
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探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
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