题目内容

点A、B分别是椭圆
x2
36
+
y2
20
=1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），则
AP
=（x+6，y），
FP
=（x-4，y）．
由已知可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，2x2+9x-18=0，解得x=
3
2
，或x=-6．
由于y＞0，只能x=
3
2
，于是y=
5
3
2
．∴点P的坐标是（
3
2
，
5
3
2
）．
（2）直线AP的方程是
y-0
5
3
2
-0
=
x+6
3
2
+6
，即x-
3
y+6=0．
设点M（m，0），则M到直线AP的距离是
|m+6|
2
．
于是
|m+6|
2
=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d2=（x-2）2+y2 =x2-4x+4+20-
5
9
x2 =
4
9
（x-
9
2
）2+15，
∴当x=
9
2
时，d取得最小值
15
．
练习册系列答案
相关题目
如图所示：椭圆的中心为O，F为焦点，A为顶点，准线L交OA的延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥L于D，QF⊥OA于F，椭圆的离心率为e，给出下列结论：
①e=
|PF|
|PD|
；②e=
|QF|
|BF|
；③e=
|AO|
|BO|
；④e=
|AF|
|PF|
；⑤e=
|FO|
|AO|

其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）
已知动点P在椭圆
x2
25
+
y2
16
=1上，若A点坐标为（3，0），且|
AM
|=1，且
PM
•
AM
=0，则|
PM
|的最小值是（　　）
A．
2
B．
3
C．2D．3
已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A．（0，
1
3
）		B．（
1
3
，
1
2
）		C．（
1
3
，
2
5
）		D．（
2
5
，1）
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的两焦点为F1，F2，点P是椭圆内部的一点，则|PF1|+|PF2|的取值范围为______．
设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=
π
4
．若AB=4，BC=
2
，则椭圆的焦距为（　　）
A．
3
3
B．
2
6
3
C．
4
6
3
D．
2
3
3
过椭圆
x2
2
+
y2
3
=1的下焦点，且与圆x2+y2-3x+y+
3
2
=0相切的直线的斜率是______．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点为F，C为椭圆短轴上的端点，向量
FC
绕F点顺时针旋转90°后得到向量
FC′
，其中C′点恰好落在椭圆右准线上，则该椭圆的离心率为______．
已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求证：λ1+λ2为定值．

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