题目内容
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N．（Ⅰ）求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离．
分析：（I）由题意及图形因为M是底面BC边上的中点，所以线线垂直进而线面垂直，利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，在△B1MN中，由余弦定理可以求得；
（II）由题意过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，又AM⊥平面BCC1B1，所以B1H⊥平面AMN，在三角形中解出B1H，即可．
（II）由题意过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，又AM⊥平面BCC1B1，所以B1H⊥平面AMN，在三角形中解出B1H，即可．
解答：解：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，
所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，
所以AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，AM⊥NM，
所以∠B1MN为二面角，B1-AM-N的平面角．
又B1M=
=
=
，MN=
=
=
，
连B1N，得B1N=
=
=
，
得cosB1MN=
=
=
．
故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为
．
（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，H为垂足．又AM⊥平面BCC1B1，
所以AM⊥B1H．于是B1H⊥平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离．
在R1△B1HM中，B1H=B1MsinB1MH=
×
=1．
故点B1到平面AMN的距离为1．
所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，
所以AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，AM⊥NM，
所以∠B1MN为二面角，B1-AM-N的平面角．
又B1M=
| B1B2+BM2 |
1+
|
| ||
| 2 |
| MC2+CN2 |
|
| 5 |
| 6 |
连B1N，得B1N=
| B1C12+C1N2 |
1+
|
| ||
| 3 |
得cosB1MN=
| B 1M2+MN2-B 1N2 |
| 2•B 1M•MN |
| ||||||
2×
|
| ||
| 5 |
故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为
| ||
| 5 |
（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，H为垂足．又AM⊥平面BCC1B1，
所以AM⊥B1H．于是B1H⊥平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离．
在R1△B1HM中，B1H=B1MsinB1MH=
| ||
| 2 |
1-
|
故点B1到平面AMN的距离为1．
点评：此题重点考查了利用线线垂直进而线面垂直，在利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，及利用余弦定理解出三角形及反三角函数表示角的大小，还考查了线面垂直得到点到面得距离．
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