题目内容
(2013•东城区二模)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,原点到过点A(a,0),B(0,b)的直线的距离是
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求x12+y12的取值范围.
(3)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
4
| ||
5 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求x12+y12的取值范围.
(3)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的值.
分析:(1)利用椭圆的离心率e=
,a2=b2+c2,及其点到直线的距离公式即可得到a,b;
(2)利用轴对称即可得到点P(x0,y0)与其对称点P1(x1,y1)的坐标之间的关系,再利用点P(x0,y0)满足椭圆C的方程:
+
=1得到关系式,进而即可求出;
(3)设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),则BM⊥EF得到关系式,把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可.
c |
a |
(2)利用轴对称即可得到点P(x0,y0)与其对称点P1(x1,y1)的坐标之间的关系,再利用点P(x0,y0)满足椭圆C的方程:
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(3)设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),则BM⊥EF得到关系式,把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可.
解答:解:(1)∵e=
=
,a2=b2+c2,
∴a=2b.
∵原点到直线AB:
-
=1的距离d=
=
,
解得a=4,b=2.
故所求椭圆C的方程为
+
=1.
(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为点P1(x1,y1),
∴
解得 x1=
,y1=
.
∴
+
=
+
.
∵点P(x0,y0)在椭圆C:
+
=1上,
∴
+
=
+
=4+
.
∵-4≤x0≤4,∴4≤
+
≤16.
∴
+
的取值范围为[4,16].
(3)由题意
消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx-12=0.
可知△>0.
设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),
则x2+x3=-
,
则xM=
=-
,yM=kxM+1=
.
∴kBM=
=-
.
∴xM+kyM+2k=0.
即
+
+2k=0.
又∵k≠0,
∴k2=
.
∴k=±
.
c |
a |
| ||
2 |
∴a=2b.
∵原点到直线AB:
x |
a |
y |
b |
ab | ||
|
4
| ||
5 |
解得a=4,b=2.
故所求椭圆C的方程为
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为点P1(x1,y1),
∴
|
解得 x1=
4y0-3x0 |
5 |
3y0+4x0 |
5 |
∴
x | 2 1 |
y | 2 1 |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
∵点P(x0,y0)在椭圆C:
x2 |
16 |
y2 |
4 |
∴
x | 2 1 |
y | 2 1 |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
3 |
4 |
x | 2 0 |
∵-4≤x0≤4,∴4≤
x | 2 1 |
y | 2 1 |
∴
x | 2 1 |
y | 2 1 |
(3)由题意
|
可知△>0.
设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),
则x2+x3=-
8k |
1+4k2 |
则xM=
x2+x3 |
2 |
4k |
1+4k2 |
1 |
1+4k2 |
∴kBM=
yM+2 |
xM |
1 |
k |
∴xM+kyM+2k=0.
即
-4k |
1+4k2 |
k |
1+4k2 |
又∵k≠0,
∴k2=
1 |
8 |
∴k=±
| ||
4 |
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法,熟悉解题模式是解题的关键.

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