题目内容

(2013•东城区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,原点到过点A(a,0),B(0,b)的直线的距离是
4
5
5

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求x12+y12的取值范围.
(3)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的值.
分析:(1)利用椭圆的离心率e=
c
a
,a2=b2+c2,及其点到直线的距离公式即可得到a,b;
(2)利用轴对称即可得到点P(x0,y0)与其对称点P1(x1,y1)的坐标之间的关系,再利用点P(x0,y0)满足椭圆C的方程:
x2
16
+
y2
4
=1
得到关系式,进而即可求出;
(3)设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),则BM⊥EF得到关系式,把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可.
解答:解:(1)∵e=
c
a
=
3
2
,a2=b2+c2
∴a=2b.
∵原点到直线AB:
x
a
-
y
b
=1
的距离d=
ab
a2+b2
=
4
5
5

解得a=4,b=2.
故所求椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
4
=1

(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为点P1(x1,y1),
y0-y1
x0-x1
×2=-1
y0+y1
2
=2×
x0+x1
2

解得 x1=
4y0-3x0
5
y1=
3y0+4x0
5

x
2
1
+
y
2
1
=
x
2
0
+
y
2
0

∵点P(x0,y0)在椭圆C:
x2
16
+
y2
4
=1
上,
x
2
1
+
y
2
1
=
x
2
0
+
y
2
0
=4+
3
4
x
2
0

∵-4≤x0≤4,∴4≤
x
2
1
+
y
2
1
≤16

x
2
1
+
y
2
1
的取值范围为[4,16].
(3)由题意
y=kx+1
x2+4y2=16
消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx-12=0.
可知△>0.
设E(x2,y2),F(x3,y3),EF的中点是M(xM,yM),
x2+x3=-
8k
1+4k2

xM=
x2+x3
2
=-
4k
1+4k2
,yM=kxM+1=
1
1+4k2

kBM=
yM+2
xM
=-
1
k

∴xM+kyM+2k=0.
-4k
1+4k2
+
k
1+4k2
+2k=0

又∵k≠0,
k2=
1
8

k=±
2
4
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法,熟悉解题模式是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网