题目内容
(2013•东城区二模)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=(log3
)•f(log3
),则a,b,c的大小关系是( )
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分析:构造辅助函数F(x)=xf(x),由导函数判断出其在(-∞,0)上的单调性,而函数F(x)为实数集上的偶函数,则有在(0,+∞)上的单调性,再分析出log3
,30.3,logπ3的大小,即可得到答案.
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解答:解:令F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x).
因为f(x)+xf′(x)<0,
所以函数F(x)在x∈(-∞,0)上为减函数.
因为函数y=x与y=f(x)都是定义在R上的奇函数,
所以函数F(x)为定义在实数上的偶函数.
所以函数F(x)在x∈(0,+∞)上为增函数.
又30.3>30=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,log3
=-2.
则F(|log3
|)>F(30.3)>F(logπ3).
所以(log3
)•f(log3
)>(30.3)•f(30.3)>(logπ3)•f(logπ3),
即c>a>b.
故选C.
因为f(x)+xf′(x)<0,
所以函数F(x)在x∈(-∞,0)上为减函数.
因为函数y=x与y=f(x)都是定义在R上的奇函数,
所以函数F(x)为定义在实数上的偶函数.
所以函数F(x)在x∈(0,+∞)上为增函数.
又30.3>30=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,log3
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则F(|log3
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所以(log3
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即c>a>b.
故选C.
点评:本题考查了导数的运算,考查了函数的单调性与奇偶性,考查了不等式的大小比较,解答此题的关键是构造出函数F(x),同时运用了偶函数中有f(x)=f(|x|),此题是中档题.
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