题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PC上的点且CE：CP=1：4，则在线段AB上是否存在点F使EF∥平面PAD．分析：如图所示，分别取PB、AB、CD的一个四等份点F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，只需证明平面EFGH∥平面PAD，即可证明出EF∥平面PAD．
解答：解：分别取PB、AB、CD的一个四等份点F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，
∵CE：CP=1：4，BF：BP=1：4，BG：BA=1：4，CH：CD=1：4
∴
=
=
，
=
=
，可得EF∥BC∥GH，EH∥PD，
由此可得四边形EFGH为梯形，E、F、G、H四点共面，
又∵EF∥AD，EH∥PD，EH、EF为平面EFGH内的相交直线，
AD、PD为平面PAD内的相交直线
∴平面EFGH∥平面PAD．
∵EF?平面EGFH，∴EF∥平面PAD．
即在线段AB上是否存在点F，且点F为AB的一个四等分点，使EF∥平面PAD．
∵CE：CP=1：4，BF：BP=1：4，BG：BA=1：4，CH：CD=1：4
∴
| PF |
| PB |
| PE |
| PC |
| 3 |
| 4 |
| CE |
| CP |
| CH |
| CD |
| 1 |
| 4 |
由此可得四边形EFGH为梯形，E、F、G、H四点共面，
又∵EF∥AD，EH∥PD，EH、EF为平面EFGH内的相交直线，
AD、PD为平面PAD内的相交直线
∴平面EFGH∥平面PAD．
∵EF?平面EGFH，∴EF∥平面PAD．
即在线段AB上是否存在点F，且点F为AB的一个四等分点，使EF∥平面PAD．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
练习册系列答案
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