Question

14．已知直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a、b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$，圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=2的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，
且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$．
∴圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=2的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为2a²+b²=8．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{8}$（2a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）=$\frac{1}{8}$（4+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$）
≥$\frac{1}{8}$（4+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$）=1，
当且仅当b²=2a²=4取等号．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题