题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，且|PF1|=
1
2
，|F1F2|=2
3
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由|F1F2|=2
3
，知c=
3
．由PF1⊥F1F2，知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=
49
4
，|PF2|=
7
2
，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-
1
k
x+1，由
y=kx+1
x2+4y2
=4，得A(-
8k
1+4k2
，-
8k2
1+4k2
+1)，|AB|=
(-
8k
1+4k2
)2+(-
8k2
1+4k2
)2
=
8|k|
1+k2
1+4k2
，由此知存在三个内接等腰直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2
3
∴c=
3

又PF1⊥F1F2，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=
49
4
，|PF2|=
7
2
，
∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=
3
，∴a=2，b2=1
∴所求椭圆方程为
x2
4
+y2=1．（6分）
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-
1
k
x+1，
由
y=kx+1
x2+4y2
=4，得A(-
8k
1+4k2
，-
8k2
1+4k2
+1)，
∴|AB|=
(-
8k
1+4k2
)2+(-
8k2
1+4k2
)2
=
8|k|
1+k2
1+4k2
，（9分）
用-
1
k
代替上式中的k，得|BC|=
8
1+k2
4+k2
，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=
-3±
5
2
，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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