题目内容
数列{an}的通项公式为an=
(n∈N*),设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).
(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)求f(n)的表达式;
(3)数列{bn}满足b1=1,bn+1=2f(n)-1,它的前n项和为g(n),求证:当n∈N*时,g(2n)-
≥1.
1 |
(n+1)2 |
(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)求f(n)的表达式;
(3)数列{bn}满足b1=1,bn+1=2f(n)-1,它的前n项和为g(n),求证:当n∈N*时,g(2n)-
n |
2 |
分析:(1)直接利用数列{an}的通项公式为an=
(n∈N*),分别令n=1,2,3,4.即可求得f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),两式相除得:
即可得出f(n)的表达式;
(3)先利用题中条件得出g(2n)=1+
+
+…+
.再设∅(n)=f(2n)-
,研究它的单调性,即数列{∅(n)}是单调递增数列,从而求得其最小值为∅(1),从而得到∅(n)≥1即得g(2n)-
≥1.
1 |
(n+1)2 |
(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),两式相除得:
即可得出f(n)的表达式;
(3)先利用题中条件得出g(2n)=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
n |
2 |
n |
2 |
解答:解:(1)f(1)=
,f(2)=
,f(3)=
,f(4)=
.
(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)
得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),
两式相除得:
=1-an=1-
=
(n>1).
∴
…
=
…
,
=
•
=
•
,
∴f(n)=
(n>1),又f(1)=
适合此式,
∴f(n)=
.
(3)b n+1=2f(n)-1=
,
g(n)=1+
+
+…+
,
∴g(2n)=1+
+
+…+
.
设∅(n)=f(2n)-
,
则∅(n)=1+
+
+…+
-
.
∅(n+1)-∅(n)=1+
+
+…+
-
-(1+
+
+…+
-
)
=
+
+…+
-
.
∵
+
+…+
的项数为2n,
∴
+
+…+
>
+
+…+
=
×2n=
,
∴∅(n+1)-∅(n)>0.即数列{∅(n)}是单调递增数列.
其最小值为∅(1)=g(2)-
=1
∴∅(n)≥1即g(2n)-
≥1.
3 |
4 |
2 |
3 |
5 |
8 |
3 |
5 |
(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)
得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),
两式相除得:
f(n) |
f(n-1) |
1 |
(n+1)2 |
n(n+2) |
(n+1)2 |
∴
f(n) |
f(n-1) |
f(n-1) |
f(n-2) |
f(2) |
f(1) |
n(n+2) |
(n+1)2 |
(n-1)(n+1) |
n2 |
n(n-2) |
(n-1)2 |
2×4 |
32 |
f(n) |
f(1) |
n(n-1)(n-2)…2 |
(n+1)n…3 |
(n+2)(n+1)…4 |
(n+1)n…3 |
2 |
n+1 |
n+2 |
3 |
∴f(n)=
n+2 |
2(n+1) |
3 |
4 |
∴f(n)=
n+2 |
2(n+1) |
(3)b n+1=2f(n)-1=
1 |
n+1 |
g(n)=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
∴g(2n)=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
设∅(n)=f(2n)-
n |
2 |
则∅(n)=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
n |
2 |
∅(n+1)-∅(n)=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n+1 |
n+1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
n |
2 |
=
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
2n+1 |
1 |
2 |
∵
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
2n+1 |
∴
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2 |
∴∅(n+1)-∅(n)>0.即数列{∅(n)}是单调递增数列.
其最小值为∅(1)=g(2)-
1 |
2 |
∴∅(n)≥1即g(2n)-
n |
2 |
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、数列的函数特性、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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