题目内容

已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
1
bnbn+1
}的前n项和为Tn，问使Tn＞
1000
2011
的最小正整数n是多少？
（3）若cn=-
1
2
an•bn，求数列{cn}的前n项和．
分析：（1）由f（1）=
1
3
可求得a，从而得f（x），求出a1，a2，a3，根据等比中项公式可求得c值，进而可得公比，求得an；由Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
，可得
Sn
-
Sn-1
=1，由等差数列的定义可判断{
Sn
}}构成等差数列，求出Sn，由Sn与bn的关系可求得bn；
（2）利用裂项相消法可求得Tn，进而可解Tn＞
1000
2011
，得到结果；
（3）先表示出cn，然后利用错位相减法可求得数列{cn}的前n项和．
解答：解：（1）∵f（x）=ax，且f（1）=
1
3
，∴a=
1
3
，
∴f（x）=(
1
3
)x．
∴a1=f（1）-c=
1
3
-c，a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-
2
9
，a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
2
27
．
又数列{an}成等比数列，
∴(-
2
9
)2=(
1
3
-c)(-
2
27
)，解得c=1，
又公比q=
a2
a1
=
1
3
，∴an=-
2
3
•(
1
3
)n-1=-
2
3n
，
由Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
，得（
Sn
+
Sn-1
）（
Sn
-
Sn-1
）=
Sn
+
Sn-1
（n≥2），
又bn＞0，∴
Sn
-
Sn-1
=1，
∴数列{
Sn
}}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则
Sn
=n，∴Sn=n2，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，又该式满足b1=c=1，
∴bn=2n-1；  
（2）Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1

=
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
     
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
（1-
1
2n+1
）=
n
2n+1
，
由Tn＞
1000
2011
，得
n
2n+1
＞
1000
2011
，解得n＞
1000
11
，
∴使Tn＞
1000
2011
的最小正整数n是91．
（3）cn=-
1
2
anbn=-
1
2
•（-
2
3n
）•（2n-1）=
2n-1
3n
，
设{cn}的前n项和为Rn，则Rn=
1
3
+
3
32
+
5
33
+…+
2n-1
3n
①，
1
3
Rn=
1
32
+
3
33
+
5
34
+…+
2n-1
3n+1
②，
①-②得，
2
3
Rn=
1
3
+
2
32
+
2
33
+…+
2
3n
-
2n-1
3n+1
=
1
3
+2×
1
9
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
=
2
3
-
2n+2
3n+1
，
∴Rn=1-
n+1
3n
．
点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了数列求和的错位相减法和列项相消法，是高考数列部分的常见题型，属中等以上难度问题．
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1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0）且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和Tn=f（n）-c（c为常数）．数列{bn}的各项为正数，首项为c，前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（Ⅰ）求常数c；
（Ⅱ）求数列{an}和{bn}的通项公式．
已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
1
bnbn+1
前n项和为Tn，问：Tn＞
1000
2013
的最小正整数n是多少？
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1
3
）是函数f（x）ax （a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足sn-sn-1=
sn
+
sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
1
3
)n，求数列{cn}的n项和Rn；
（3）若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，问Tn＞
1000
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的最小正整数n是多少？
（2009•奉贤区一模）已知点（1，
13
）是函数f（x）=ax （a＞0且，a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，求数列{an}的通项公式．

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