题目内容
已知点（1，
）是函数f（x）ax （a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足sn-sn-1=
+
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
)n，求数列{cn}的n项和Rn；
（3）若数列{
}前n项和为Tn，问Tn＞
的最小正整数n是多少？
| 1 |
| 3 |
| sn |
| sn-1 |
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
| 1 |
| 3 |
（3）若数列{
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1000 |
| 2013 |
分析：（1）由条件先求出f（x），再求出数列的前三项，由前三项成等比数列求出c的值，则通项可求，再由给出的等式sn-sn-1=
+
（n≥2）得到新的等差数列{
}，求出其通项后则可求数列{bn}的通项公式；
（2）把（1）中求出的通项公式代入，运用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Rn；
（3）先把数列{
}列项相消求和然后直接代入不等式可求最小正整数n．
| sn |
| sn-1 |
| Sn |
（2）把（1）中求出的通项公式代入，运用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Rn；
（3）先把数列{
| 1 |
| bnbn+1 |
解答：解：（1）因为f（x）=ax，且f（1）=
，所以a=
，所以f(x)=(
)x．
所以a1=f(1)-c=
-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
，
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
．
又数列{an}成等比数列，所以a1=
=
=-
=
-c，所以c=1，
又公比q=
=
，所以an=-
(
)n-1=-2(
)n n∈N*，
所以Sn-Sn-1=(
-
)(
+
)=
+
（n≥2）
又bn＞0，
＞0，所以
-
=1，
数列{
}构成一个首相为1公差为1的等差数列，
=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，又其满足b1=c=1，
所以bn=2n-1；
（2）cn=bn(
)n=(2n-1)(
)n，
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn，
所以Rn=1×(
)1+3×(
)2+5×(
)3+…+(2n-1)(
)n①
则
Rn= 1×(
)2+3×(
)3+5×(
)4+…+(2n-3)(
)n+(2n-1)(
)n+1②
①-②得：
Rn=
+2[(
)2+(
)3+(
)4+…+(
)n]-(2n-1)×(
)n+1
化简：
Rn=
+2[
]-(2n-1)×(
)n+1=
-
×(
)n
所以所求Rn=1-
；
（3）Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=
(1-
+
-
+
-
+…+
-
)=
．
由Tn=
＞
，得n＞
，所以满足Tn＞
的最小正整数为77．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以a1=f(1)-c=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
| 2 |
| 27 |
又数列{an}成等比数列，所以a1=
| a22 |
| a3 |
| ||
-
|
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
又公比q=
| a2 |
| a1 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以Sn-Sn-1=(
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
又bn＞0，
| Sn |
| Sn |
| Sn-1 |
数列{
| Sn |
| Sn |
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，又其满足b1=c=1，
所以bn=2n-1；
（2）cn=bn(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn，
所以Rn=1×(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
则
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
①-②得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
化简：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
(
| ||||
1-
|
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2(n+1) |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以所求Rn=1-
| n+1 |
| 3n |
（3）Tn=
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
由Tn=
| n |
| 2n+1 |
| 1000 |
| 2013 |
| 1000 |
| 13 |
| 1000 |
| 2013 |
点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了数列求和的错位相减法和列项相消法，是高考数列部分的常见题型，属中等以上难度问题．
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