Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）+f（x-$\frac{π}{6}$），求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）首先，根据图象得到振幅和A，B，ω，从而得到f（x）=2sin（2x+φ）+1，然后，将点（-$\frac{π}{12}$，-1）代入得到φ，即可得解．
（2）化简可得解析式g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，根据正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）根据函数的最大值和最小值得|A|+B=3，B-|A|=-1，
∵A＞0，
∴A=2，B=1，
$\frac{1}{2}T$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）+1，
将点（-$\frac{π}{12}$，-1）代入得到2sin（$-\frac{π}{6}$+φ）+1=-1，|φ|＜π，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）∵g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）=2sin2x+1+2sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+1=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2∈[2-$\sqrt{3}$，4]．

点评 本题重点考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质及其运用，属于基础题．