Question

【题目】已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；

（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．

试题解析：

（1）椭圆C1的方程为的左、右焦点为（﹣，0），（，0），

则C2的左、右顶点为（﹣，0），（，0），C1的左、右顶点为（﹣2，0），（2，0），则C2的左、右焦点为（﹣2，0），（2，0）．则双曲线的a=，c=2，b=1．

即有双曲线C2的方程为： ；

（2）①

②

由①②得,③

由①②③得