Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a＞1．
（1）写出f（x）的单调递减区间（不需写过程）；
（2）若f（x）的图象上存在关于y轴对称的点有两对，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，a＞1，结合二次函数和对数函数的单调性，可得f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）的图象上存在关于y轴对称的点有两对，则函数y=lnx与$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的图象有两个交点，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的单调递减区间为[0，$\frac{a-1}{a}$]；
（2）若f（x）的图象上存在关于y轴对称的点有两对，
则函数y=lnx与$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的图象有两个交点，
即函数g（x）=${\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}-lnx$有两个零点；
∵g′（x）=ax+（1-a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+（1-a）x-1}{x}$，
令g′（x）=0，则x=1，或x=-$\frac{1}{a}$（舍去），
∵当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
故x=1时，g（x）取小值为$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$，
则$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$＜0，
解得：a＞3，或-1＜a＜0（舍去），
综上所述：a＞3．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数图象的交点，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．