题目内容

函数y=f（x），x∈[-5，5]的图象如图所示，该曲线在原点处的切线的方程为y=x，且导函数f′（x）是减函数．给出下列四个命题：
①A，B是该图象上的任意两点，那么直线AB的斜率kAB∈（0，1）；
②点P是该图象在第一象限内的部分上的点，那么直线OP的斜率kOP∈（0，1）；
③对于?x1，x2∈[-5，5]，f（x1）+f（x2）≤2f（）恒成立；
④对于?x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命题的序号是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．②④
D．①③
【答案】分析：对于①A，B是该图象上的任意两点，直线AB的斜率可以用AB中点对应的横坐标对应到图象上点的切线斜率近似代替，根据函数的导数是一个减函数，知当x＜0时f′（x）＞f′（0）=1，故①不正确；再结合选项，说明应在B、C当中选一个，问题的焦点集中到③这个命题是否正确了．利用函数图象的凹凸性不难发现命题③是正确的，这样就可以选到正确答案了．
解答：解：先看命题①：若A，B是该图象上的任意两点，直线AB的斜率可以用AB中点对应的横坐标对应到图象上点的切线斜率近似代替，
由已知条件曲线在原点处的切线的方程为y=x，说明f′（0）=1，再根据函数的导数是一个减函数知
当x＜0时f′（x）＞f′（0）=1，说明存在-5＜x＜0时直线AB的斜率kAB＞1，故①不正确；
再结合选项：只有B、C当中没有认为①正确，说明应在B、C当中选一个，
问题的焦点集中到③这个命题是否正确了．
利用函数图象的凹凸性：函数f（x）是一个凸函数，说明满足不等式：
对照一下命题③，说明命题③是正确的，因此可得正确答案为②③④．
故选B
点评：本题考查了利用导数研究函数的图象、函数图象的凹凸性和函数恒成立等问题，综合性较强，是一道难题．此问题还着重考查学生观察图形，分析问题和解决问题的能力，不失为一道优良的考题．
练习册系列答案
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（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
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（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
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（1）试判断函数f（x）=log
12
(x-1)是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
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利用上述结论完成下列各题：
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x+m
x-1
的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(
2
3
，f(
2
3
))成中心对称，求t的值．

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