Question

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0 可求得f（0）=0；令y=-x代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)可判断f（x）的奇偶；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，分析判断出-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，再结合条件即可证明结论；
（3）利用（1）f（x）为奇函数与（2）f（x）在（-1，1）上是单调递减函数将f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0转化为f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，脱掉f，化为不等式组解之即可．

解答：解：（1）f（x）为奇函数．
  令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)有，
  2f（0）=f（0），f（0）=0；
  令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得：
  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
∴f（x）=-f（-x），得证．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，
由题设知，必有-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜1
又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁•x₂∈（-1，1），所以1-x₁•x₂＞0，
所以-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）∵f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0，f（x）为奇函数，
∴f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
∴

-1＜x+ 1 2 ＜ 1 -1＜ 1 x-1 ＜1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

解得：-

3

2

＜x＜-1
∴不等式的解集为：{x|-

3

2

＜x＜-1}．

点评：本题考查函数的性质，难点在于第（2）问函数单调性的证明中-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0的分析，级第（3）解不等式组，综合考查学生的分析，计算及正确推理的能力，是难题．