题目内容

（2009•卢湾区一模）将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
x+m
x-1
的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(
2
3
，f(
2
3
))成中心对称，求t的值．
分析：（1）根据正切函数图象观察出图象的对称中心的坐标为(
kπ
2
，0)再利用①进行证明．
（2）将函数f(x)=
x+m
x-1
化成f(x)=1+
m+1
x-1
，据其简图可知对称中心的坐标为（1，1）．再利用②进行证明．
（3）若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(
2
3
，f(
2
3
))成中心对称，则）由结论②F(x)=f(x+
2
3
)-f(
2
3
)=x(|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|)为奇函数，从而转化为h(x)=|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|，求t的取值即可．
解答：解：（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(
kπ
2
，0)（k∈N*）．    …（2分）
当k=2n（n∈N*）时，tan(
kπ
2
+x)+tan(
kπ
2
-x)=tanx-tanx=0；
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(
kπ
2
+x)+tan(
kπ
2
-x)=-cotx+cotx=0，得证．                   …（6分）
（2）由f(x)=
x+m
x-1
=1+
m+1
x-1
，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=
x+1+m
x+1-1
+
1-x+m
1-x-1
=
x+1+m
x
+
-x+1+m
-x
=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=
x+m
x-1
的图象关于点（1，1）成中心对称．   …（12分）
（3）由结论②F(x)=f(x+
2
3
)-f(
2
3
)=x(|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|)为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|=|x-(
2
3
+t)|+|x+
7
3
|，…（16分）
因此，
2
3
+t=
7
3
，解得t=
5
3
为所求．                                 …（18分）
点评：本题考查阅读理解、分析解决问题、转化、计算的能力．用到的知识有三角函数图象的对称中心，分式函数的对称中心，函数的奇偶性判断．三角函数诱导公式．
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