题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面为直角梯形， 
， 
，且
， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）设
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）取
， 
的中点
， 
，连接
， 
， 
， 
，可得
， 
，故得
平面
，所以
，又
，所以
平面
，从而可得平面
平面
.（2）由（1）知
两两垂直，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解即可。
试题解析：
（1）证明：如图，取
， 
的中点
， 
，连接
， 
， 
， 
，
则四边形
为正方形，
∴
，∴
.
又
，∴
，
又
∴
平面
，
又
平面
∴
.
∵
，
∴
.
又
，
∴
平面
.
又
平面
，
∴平面
平面
.
（2）解：由（1）知
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
，
∵
， 
，
∴
.
令
，则
， 
， 
， 
，
∴
， 
， 
.
设平面
的一个法向量为
，
由
，得
，取
，得
.
又设平面
的法向量为
，
由
得
，取
，得
，
∴
，
由图形得二面角
为锐角，
∴二面角
的余弦值为
.
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