Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ，且， .

（1）求证：平面平面；

（2）设，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取， 的中点， ，连接， ， ， ，可得， ，故得平面，所以，又，所以平面，从而可得平面平面.（2）由（1）知两两垂直，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解即可。

试题解析：

（1）证明：如图，取， 的中点， ，连接， ， ， ，

则四边形为正方形，

∴，∴.

又，∴，

又

∴平面，

又平面

∴.

∵，

∴.

又，

∴平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）解：由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵， ，

∴.

令，则， ， ， ，

∴， ， .

设平面的一个法向量为，

由，得，取，得.

又设平面的法向量为，

由得，取，得，

∴，

由图形得二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.