Question

6．若函数y=2x³+1的图象与函数y=3x²-b的图象，有三个不同的交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 设y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b，根据题意得方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根，进而转化为b=-2x³+3x²-1，对右边对应的函数单调性的讨论，记
F（x）=-2x³+3x²-1然后利用导数工具研究其单调性，得到它的极大值与极小值，最后根据这个极值建立关于字母b的不等式组，解之可得实数b的取值范围．

解答 解：设y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b，
∵y=2x³+1的图象与y=3x²-b的图象有三个不相同的交点，
∴方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根，
即：2x³+1=3x²-b⇒b=-2x³+3x²-1．
记F（x）=-2x³+3x²-1，得F′（x）=-6x（x-1），
∴F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞），（-∞，0）上递减，F（0）取极小，F（1）取极大．
所以方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根的充要条件是：
函数F（x）的极大值大于b，而极小值小于b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=-1＞b}\\{F（1）=0＜b}\end{array}\right.$⇒b∈（-1，0）．

点评 本题以多项式函数为载体，考查了方程根的个数知识点，属于中档题．从函数图象联系到方程的根，利用参数分离研究函数单调性的方法解决，是本题解决的特征．