Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，
求该四棱锥的体积．

Answer 1

分析：（1）取PB的中点O，连接ON，OA，通过证明四边形MNOA为平行四边形．得出MN∥AO，根据判定定理即可证明．
（2）容易得出∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，在RT△PBA中，求出椎体的高PB，利用锥体体积公式计算即可．

解答：（1）证明：取PB的中点O，连接ON，OA，
∵O，N分别是PB，PC的中点，
∴ON∥BC，ON=

1

2

BC
又AD∥BC，AM=

1

2

AD，
∴ON∥AM，ON=AM．
∴四边形MNOA为平行四边形．
∴MN∥AO
而MN?平面PAB，AO?平面PAB
∴MN∥平面PAB．
（2）解：∵PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PB⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PB=B，
∴AD⊥面PAB，
∴AD⊥PA．
∴∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，
∴∠PAB=60°，
在RT△PBA中，PB=tan∠PAB•AB=

3

a，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PB=

1

3

×a²×

3

a=

3  a3

3

点评：本题考查线面平行的判定，锥体体积计算，考查转化、计算、论证能力．