题目内容
【题目】已知函数若曲线
在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对于任意,总有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)本问考查导数的几何意义,根据曲线在点处切线方程为
,当
时,代入计算得出
,即
,根据函数
,则
,所以
,另外本题也可以求出点
处的切线方程,再根据题中的方程,就可以确定
的值;(Ⅱ)对于任意
,
恒成立,等价转化为对于任意
,
恒成立,设函数
,则问题转化为只需满足
,接下来对
求导,
,对
分类讨论,在
的取值范围不同时,分别求函数
在区间
上的最小值,满足
,于是得到
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ) ,
则,
又因为切点为,
所以切线方程为,
即: ,
所以,
即.
(Ⅱ)设,则
在
上恒成立.
,
若,则
在
上恒成立,
在
上单调递减,
,
所以符合题意.
若,则
,
令,得
或
,
若则
, 则
,在
上恒成立,
在
上单调递减,
所以
符合题意.
若,则
,
当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
这时,不符合题意.
若,则
,则
在
上恒成立,
在
上单调递减,
所以
符合题意.
综上所述: .
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