题目内容

当n≥2(n∈N*)时，Sn=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
n2
)，  Tn=
n+1
2n

（1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜测Sn与Tn的关系且证明．
分析：（1）利用n=2，3，4，分别求出T2，T3，S2，S3，的值；
（2）通过（1）的数值，猜想Sn与Tn的关系；利用数学归纳法验证n=2时猜想成立，然后假设n=k猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．
解答：解：（1）S2=1-
1
4
=
3
4
，S3=(1-
1
4
)(1-
1
9
)=
2
3

T2=
2+1
2×2
=
3
4
，T3=
3+1
2×3
=
2
3

（2）猜想：Sn=Tn，用数学归纳法证明，
①n=2时，由（1）知成立；
②假设n=k（k≥2，k∈N）时等式处立．
即(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
k2
)=
k+1
2k
，则n=k+1时，
Sk+1=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
k2
)[1-
1
(k+1)2
]

=
k+1
2k
•[1-
1
(k+1)2
]=
(k+1)2-1
2k(k+1)
=
(k+1)+1
2(k+1)

所以n=k+1时，等式成立，
由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．
点评：本题是考查数学归纳法的证明与应用，正确的猜想是数学归纳法的证明的前提，注意n=k+1证明时用上假设．
练习册系列答案
相关题目
对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin(
π
2
n)时，{yn}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同时为0），且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．
（3）设数列{an}满足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，数列{bn}的前n项和Sn，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．
（2009•成都二模）已知数列{an}中，a1=
2
3
，a2=
8
9
且当n≥2，n∈N时，3a n+1=4a-a n-1
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记
n
i=1
ai=a1•a2•a3…an，n∈N*
（1）求极限
lim
n→∞
n
i=1
 （2-2 i-1）
（2）对一切正整数n，若不等式λ
n
i=1
ai＞1（λ∈N*）恒成立，求λ的最小值．
已知x轴上有一点列P1，P2，P3，…，Pn，…，且当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1．
（I）写出a2，a3和an（n≥2，n∈N*）的表达式；
（II）记bn=
an+3
an
(n∈N*)，证明：b1+b2+b3+…+bn＜
1
4
(n∈N*)．
当n≥2(n∈N*)时，Sn=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
n2
)，  Tn=
n+1
2n

（1）求S2，S3，T2，T3；（2）猜测Sn与Tn的关系且证明．

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