Question

（2009•成都二模）已知数列{a_n}中，a₁=

2

3

，a₂=

8

9

且当n≥2，n∈N时，3a _n+1=4a-a _n-1
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N^*
（1）求极限

lim

n→∞

n

i=1

（2-2 _i-1）
（2）对一切正整数n，若不等式λ

n

i=1

a_i＞1（λ∈N^*）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（I）因为数列{a_n}不是特殊的数列，所以可用构造法，构造一个新数列，使其具有一定的规律．通过观察，可以发现，3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1则新数列为等比数列，求出新数列的通项公式，再根据新数列的通项公式叠加求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）①

lim

n→∞

n

i=1

（2-a _i-1）=

lim

n→∞

（1+

1

3

）（1+

1

3 2

）（1+

1

3 4

）…（1+

1

3 2n-1

）=

lim

n→∞

(1- 1 3 )(1+ 1 3 )(1+ 1 3 2 )(1+ 1 3 4 )…(1+ 1 3 2n-1 )

1- 1 3

，再对分子进行化简即可得出答案；
②λ

n

i=1

a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 n

）＞1．下面利用数学归纳法证明（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 n

）＞1-

n

i=1

1

3 k

，从而得出λ的最小值．

解答：解：（I）a₁=

2

3

，a₂=

8

9

且当n≥2，n∈N时，3a _n+1=4a-a _n-1
∴3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1
∴a_n-a _n-1=

1

3

（a _n-1-a _n-2）=

1

3 2

（a _n-2-a _n-3）=…=

2

3  n-2

（a ₂-a ₁）=

2

3 n

，
叠加，得a_n-a₁=2（

1

3 2

+

1

3 3

+…+

1

3 n

）
故所求的通项公式为a_n=1-

1

3 n

，（n∈N^*）
（Ⅱ）①

lim

n→∞

n

i=1

（2-a _i-1）=

lim

n→∞

（1+

1

3

）（1+

1

3 2

）（1+

1

3 4

）…（1+

1

3 2n-1

）
=

lim

n→∞

(1- 1 3 )(1+ 1 3 )(1+ 1 3 2 )(1+ 1 3 4 )…(1+ 1 3 2n-1 )

1- 1 3

=

lim

n→∞

1- 1 3 2n

2 3

=

3

2

．
②λ

n

i=1

a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 n

）＞1

下面证明（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 n

）＞1-

n

i=1

1

3 k

（i）当n=1时，不等式成立；
当n=2时，左边=（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）=

16

27

右边=1-（

1

3

+

1

3 2

）=

15

27

左边＞右边，不等式成立．
（ii）假设当n=k时，（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 k

）≥1-（

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 k

）
成立．
则当n=k+1时，，（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 k

）（1-

1

3 k+1

）
≥[1-（

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 k

）（1-

1

3 k+1

）=（

1

2

+

1

2×3 k

）（1-

1

3 k+1

）＞

1

2

+

1

2×3 k+1

又1-（

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 k

+

1

3 k+1

）=1-

1- 1 3 k+1

2

=

1

2

+

1

2×3 k+1

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综上（i）、（ii）可知，（1-

1

3

）（1-

1

3 2

）（1-

1

3 3

）…（1-

1

3 n

）＞1-

n

i=1

1

3 k

成立．
对一切正整数n，不等式λ

n

i=1

a_i＞1（λ∈N^*）恒成立
?1-

n

i=1

1

3 k

＞

1

λ

恒成立

lim

n→∞

（1-

n

i=1

1

3 k

）=

lim

n→∞

[

1

2

+

1

2

（

1

3

）ⁿ]=

1

2

∴1-

n

i=1

1

3 k

＞

1

2

故只需

1

2

≥

1

λ

，∴λ≥2
而λ∈N^*．
∴λ的最小值为2．

点评：本小题主要考查数列递推式、数列的函数特性、数列的极限、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．