Question

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC-4cos²$\frac{A-C}{2}$=$\sqrt{2}$-2．
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若C=$\frac{π}{3}$，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式，结合三角形的内角和定理，即可得到B的大小；
（Ⅱ）运用正弦定理，求得c，再由余弦定理，可得a，再由三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）由条件得4sinAsinC=2（2${cos^2}\frac{A-C}{2}-1$）$+\sqrt{2}$
即4sinAsinC=2cos（A-C）$+\sqrt{2}$=2（cosAcosC+sinAsinC）$+\sqrt{2}$
化简得 cos（A+C）=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜A+C＜π，∴$A+C=\frac{3π}{4}$，
又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}即\frac{2}{sin{45°}^{\;}}=\frac{c}{sin{60°}^{\;}}$，则$c=\sqrt{6}$，
由${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB得4={a^2}-2\sqrt{3}a+6$，
即${a^2}-2\sqrt{3}a+2=0$，∴$a=\sqrt{3}+1或a=\sqrt{3}-1（舍去）$，
$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查运算能力，属于中档题．