Question

12．如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图所示（2）．

（1）求几何体D-ABC的体积；
（2）求二面角D-AB-C的正切值；
（3）求几何体D-ABC的外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）由高和底面积，求得三棱锥B-ACD的体积即是几何体D-ABC的体积．
（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，证明∠DHE是二面角D-AB-C的平面角，即可求二面角D-AB-C的正切值；
（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，D-ABC的外接球的球心为O，半径为2，即可求几何体D-ABC的外接球的表面积．

解答 解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴三棱锥B-ACD的体积为：$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由等积性知几何体D-ABC的体积为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，
∵AD=DC，E为AC中点，
∴DE⊥AC，
∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
∴DE⊥平面ACB，
∴DE⊥AB，
又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，
∴AB⊥平面DHE，
∴DH⊥AB，
∴∠DHE是二面角D-AB-C的平面角．
∵DE=$\sqrt{2}$，HE=1，
∴tan∠DHE=$\sqrt{2}$；
（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，
∵DE⊥平面ACB，DE=OE=$\sqrt{2}$，
∴DE⊥OE，DO=2．
又∵AO=BO=CO=2，
∴D-ABC的外接球的球心为O，半径为2，
∴D-ABC的外接球的表面积为16π．

点评 本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．