Question

【题目】已知函数（为实常数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在两个不相等的正数、满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）当时的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）证明见解析

【解析】

（1）求得，分和两种情况讨论，即可求解；

（2）由（1）可得当时，由两个不相等的正数、满足，不妨设，得出，结合单调性，即可求解．

（1）由题意，函数的定义域为，且，

①当时，恒有，故在上单调递增；

②当时，由得，故在上单调递增，在上单调递减；

综上①②可知当时的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知时在上单调递增，

若，则，不合题意，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

若存在两个不相等的正数、满足，

则、必有一个在上，另一个在上，

不妨设，则，即，

令，

则，当且仅当是取等号，

当时，，单调递增，且，

所以时，，即，

所以，

因为，所以，

又因为在上单调递减，所以，即．