题目内容
设函数f（x）=logax（0＜a＜1）．
（Ⅰ）若f（x2-x）＞f（2），求x的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．
（Ⅰ）若f（x2-x）＞f（2），求x的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=logax，把其代入不等式f（x2-x）＞f（2），注意0＜a＜1，函数f（x）为减函数，可以得到一个一元二次不等式，从而求解；
（Ⅱ）根据函数f（x）的反函数为g（x），求出g（x），根据a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，将问题转化为k≥-(
)x-2在区间[2，+∞）上恒成立，求出-(
)x-2的最大值即可；
（Ⅱ）根据函数f（x）的反函数为g（x），求出g（x），根据a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，将问题转化为k≥-(
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| a |
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| a |
解答：解：（Ⅰ）由已知loga(x2-x)＞loga2，
因为0＜a＜1，所以0＜x2-x＜2，…（2分）
解x2-x＜2，得-1＜x＜2．
解x2-x＞0，得x＞1或x＜0．
所以x的取值范围是{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．…（4分）
（Ⅱ）g（x）为f（x）的反函数，所以g（x）=ax．…（5分）
由已知a+kax-1≥0在区间[2，+∞）上恒成立，
因为ax-1＞0，所以k≥-(
)x-2在区间[2，+∞）上恒成立，…（6分）
即k大于等于-(
)x-2的最大值．…（7分）
因为0＜a＜1，所以
＞1，又x-2∈[0，+∞），
所以(
)x-2的最小值为1，-(
)x-2的最大值为-1，…（9分）
所以k≥-1，
所以k的最小值为-1．…（10分）
因为0＜a＜1，所以0＜x2-x＜2，…（2分）
解x2-x＜2，得-1＜x＜2．
解x2-x＞0，得x＞1或x＜0．
所以x的取值范围是{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．…（4分）
（Ⅱ）g（x）为f（x）的反函数，所以g（x）=ax．…（5分）
由已知a+kax-1≥0在区间[2，+∞）上恒成立，
因为ax-1＞0，所以k≥-(
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| a |
即k大于等于-(
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因为0＜a＜1，所以
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所以(
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所以k≥-1，
所以k的最小值为-1．…（10分）
点评：此题主要考查函数恒成立的问题，以及不等式的求法，是一道基础题，考查指数函数的单调性，考查的知识点比较全面；
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