Question

17．已知函数f（x）=（a-b）x²+（c-a）x+（b-c），且a＞b＞c．
（1）求证：方程f（x）=0总有两个实根；
（2）求不等式f（x）≤0的解集；
（3）求使f（x）＞（a-b）（x-1）对3b≤2a+c总成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因式分解，求出方程的根即可；
（2）f（x）≤0，即[（a-b）x-（b-c）]（x-1）≤0，分类讨论，求不等式f（x）≤0的解集；
（3）由f（x）＞（a-b）（x-1），可得x＞$\frac{a-c}{a-b}$，或x＜1恒成立．又3b≤2a+c，即2（a-b）≥b-c，$\frac{b-c}{a-b}$≤2，所以$\frac{a-c}{a-b}$=1+$\frac{b-c}{a-b}$≤3．即可求出对3b≤2a+c总成立的x的取值范围．

解答 （1）证明：方程f（x）=0，
即（a-b）x²+（c-a）x+（b-c）=0，
即[（a-b）x-（b-c）]（x-1）=0．
所以方程f（x）=0的两根为x₁=$\frac{b-c}{a-b}$，x₂=1．
因为a＞b＞c，所以$\frac{b-c}{a-b}$＞0．
故方程f（x）=0总有两个正根．
（2）解：f（x）≤0，即[（a-b）x-（b-c）]（x-1）≤0．
当$\frac{b-c}{a-b}$＞1，即b＞$\frac{a+c}{2}$时，不等式的解集为{x|1≤x≤$\frac{b-c}{a-b}$，}；
当$\frac{b-c}{a-b}$＜1，即b＞$\frac{a+c}{2}$时，不等式的解集为{x|$\frac{b-c}{a-b}$≤x≤1}；
当$\frac{b-c}{a-b}$=1，即b=$\frac{a+c}{2}$时，不等式的解集为{x|x=1}．
（3）解：f（x）＞（a-b）（x-1），
即（a-b）x²+（b+c-2a）x+a-c＞0，
即[（a-b）x-（a-c）]（x-1）＞0．
因为a＞b＞c，所以$\frac{a-c}{a-b}$＞1．
所以x＞$\frac{a-c}{a-b}$，或x＜1恒成立．
又3b≤2a+c，即2（a-b）≥b-c，$\frac{b-c}{a-b}$≤2，
所以$\frac{a-c}{a-b}$=1+$\frac{b-c}{a-b}$≤3．
所以x＞3，或x＜1．
故使f（x）＞（a-b）（x-1）对于3b≤2a+c恒成立的x的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞）．

点评 本题考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．