题目内容
【题目】半圆的直径的两端点为
,点
在半圆
及直径
上运动,若将点
的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点
,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线的“直径”.
【答案】(1)答案见解析 (2).
【解析】
(1)设,则
,由题意可知当
在直径
上时,显然
;当
在半圆
上时,
,即可求得答案;
(2)设曲线上两动点
,显然
,
至少有一点在椭圆上时
才能取得最大,不妨设
,
,根据不等式性质,即可求得曲线
的“直径”.
(1)设,则
,
由题意可知当在直径
上时,显然
;
当在半圆
上时,
,
曲线
的方程为
或
.
(2)设曲线上两动点
,
显然,
至少有一点在椭圆上时
才能取得最大,
不妨设,
则,
等号成立时:,
或
,
,
由两点距离公式可得:,
故曲线的“直径”为
.
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