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设函数
,若对任意x∈R,存在x
1
,x
2
使f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)恒成立,则|x
1
-x
2
|的最小值是
.
试题答案
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【答案】
分析:
由已知可知f(x
1
)是f(x)中最小值,f(x
2
)是值域中的最大值,它们分别在最高和最低点取得,它们的横坐标最少相差半个周期,由三角函数式知周期的值,结果是周期的值的一半.
解答:
解:∵对任意x∈R都有f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
),
∴f(x
1
)和f(x
2
)分别是函数的最大值和最小值,
∴|x
1
-x
2
|的最小值为函数的半个周期,
∵T=
=π,
∴|x
1
-x
2
|的最小值为
,
故答案为
.
点评:
本题是对函数图象的考查,只有熟悉三角函数的图象,才能解决好这类问题,同时,其他的性质也要借助三角函数的图象解决,本章是数形结合的典型.
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给出下列四个命题:
①“向量
a
,
b
的夹角为锐角”的充要条件是“
a
•
b
>0”;
②如果f(x)=lgx,则对任意的x
1
、x
2
∈(0,+∞),且x
1
≠x
2
,都有f(
x
1
+
x
2
2
)>
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
;
③设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.若f(x)=x
2
-3x+4与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”,则其“密切区间”可以是[2,3];
④记函数y=f(x)的反函数为y=f
-1
(x),要得到y=f
-1
(1-x)的图象,可以先将y=f(x)的图象关于直线y=x做对称变换,再将所得的图象关于y轴做对称变换,再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位,即得到y=f
-1
(1-x)的图象.
其中真命题的序号是
.(请写出所有真命题的序号)
设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“紧密函数”.若f(x)=x
2
-3x+2与g(x)=mx-1在[1,2]上是“紧密函数”,则m的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[2,3]
C.[1,2]
D.[1,3]
设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“亲密函数”,区间[a,b]称为“亲密区间”.若f(x)=x
2
-3x+4与g(x)=2x-1在[a,b]上是“亲密函数”,则b-a的最大值是
1
1
.
设函数
,若对任意x∈R,都有f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)成立,则|x
1
-x
2
|的最小值为
.
关 闭
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