题目内容

已知α,β均为锐角,且sinα=
3
5
tan(α-β)=-
1
3

(1)求sin(α-β)的值;     
(2)求cosβ的值.
分析:(1)根据α、β的范围,利用同角三角函数的基本关系,求得sin(α-β)的值.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=
3
10
10
cosα=
4
5
,根据cosβ=cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.
解答:解:(1)∵α,β∈(0,
π
2
)
,从而-
π
2
<α-β<
π
2

又∵tan(α-β)=-
1
3
<0
,∴-
π
2
<α-β<0
.         …(4分)
利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且
sin(α-β)
cos(α-β)
=-
1
3

解得  sin(α-β)=-
10
10
.   …(6分)
(2)由(1)可得,cos(α-β)=
3
10
10
.∵α为锐角,sinα=
3
5
,∴cosα=
4
5
.      …(10分)
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)…(12分)
=
4
5
×
3
10
10
+
3
5
×(-
10
10
)
=
9
10
50
.      …(14分)
点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式的应用,属于中档题.
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