题目内容
【题目】如图,边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD,AE⊥平面CDE,且AE=1.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:DE⊥平面ABE;
(3)求点A到平面BDE的距离.
【答案】
(1)证明:∵正方形ABCD中,AB∥CD,
AB平面CDE,CD平面CDE,
∴AB∥平面CDE
(2)证明:∵AE⊥平面CDE,CD平面CDE,DE平面CDE,
∴AE⊥CD,DE⊥AE,
在正方形ABCD中,CD⊥AD,
∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.
∵DE平面ADE,∴CD⊥DE,
∵AB∥CD,∴DE⊥AB,
∵AB∩AE=E,∴DE⊥平面ABE
(3)解:∵AB⊥AD,AB⊥DE,AD∩DE=D,
∴AB⊥平面ADE,
∴三棱锥B﹣ADE的体积VB﹣ADE= = = ,
= = ,
设点A到平面BDE的距离为d,
∵VA﹣BDE=VB﹣ADE,∴ = ,解得d= ,
∴点A到平面BDE的距离为 .
【解析】(1)推导出AB∥CD,由此能证明AB∥平面CDE.(2)推导出AE⊥CD,DE⊥AE,从而CD⊥DE,再由DE⊥AB,能证明DE⊥平面ABE.(3)由AB⊥平面ADE,能求出三棱锥B﹣ADE的体积.再由VA﹣BDE=VB﹣ADE,能求出点A到平面BDE的距离.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对直线与平面垂直的判定的理解,了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.