Question

【题目】设函数 f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a

（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）的最大值；

（Ⅱ）若 f（x）≤ 对任意 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．

Answer 1

【答案】 (1)4,(2) （0，1]∪[4，+∞）．

【解析】分析：（1）运用绝对值不等式的性质，可得，即可得到f（x）的最大值；

（2）f（x）≤ 对任意 x∈R 恒成立，即为，解不等式可得a 的取值范围．

详解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣1， 由|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，

故 f（x）≤4，

所以，当 x≥3 时，f（x）取得最大值，且为 4；

（Ⅱ）f（x）≤对任意 x∈R 恒成立，即为

f（x）max=5﹣a≤，

即为即有， 即为 a≥4 或 0＜a≤1．

即有 a 的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．