题目内容
18.已知数列{an}中,a1=1,a2=4,满足an+2=$\frac{5}{3}$an+1-$\frac{2}{3}$an(I)设bn=an+1-an,求证数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
分析 (Ⅰ)an+2=$\frac{5}{3}$an+1-$\frac{2}{3}$an,变形为:an+2-an+1=$\frac{2}{3}({a}_{n+1}-{a}_{n})$,利用等比数列的通项公式即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,bn}=3($\frac{2}{3}$)n-1,可得an+1-an=3×$(\frac{2}{3})^{n-1}$,利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (Ⅰ)证明:∵an+2=$\frac{5}{3}$an+1-$\frac{2}{3}$an,
变形为:an+2-an+1=$\frac{2}{3}({a}_{n+1}-{a}_{n})$,
即bn+1=$\frac{2}{3}$bn
又b1=a2-a1=3
∴数列{bn}是首项为3,公比为$\frac{2}{3}$的等比数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,bn}=3($\frac{2}{3}$)n-1,
∴an+1-an=3×$(\frac{2}{3})^{n-1}$,
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+3+3×$(\frac{2}{3})$+3×$(\frac{2}{3})^{2}$+…+3×$(\frac{2}{3})^{n-2}$
=$1+3×\frac{1-(\frac{2}{3})^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$
=10-9×$(\frac{2}{3})^{n-1}$.
点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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