Question

14．求函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的最小值．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的定义域，从而由复合函数的单调性确定函数的单调性，从而求最值．

解答 解：由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x≥0}\\{{x}^{2}-5x+4≥0}\end{array}\right.$，
故函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的定义域为（-∞，0]∪[4，+∞），
易知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$在（-∞，0]上是减函数，
在[4，+∞）上是增函数；
且f（0）=0+2×2=4，f（4）=2$\sqrt{2}$+0=2$\sqrt{2}$；
故函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及复合函数的性质的应用．